В начале (предисловии) приведён пример того, как конечную величину можно представить в виде бесконечного числа частей. Целое яблоко делили пополам, потом одну половинку ещё раз пополам, затем одну четвертинку – ещё раз пополам…
То есть, целое число 1 (яблоко) представлено в виде суммы (кусочков)
Причём количество слагаемых в сумме бесконечно (!)
Вот ещё одна иллюстрация того, как сумма бесконечного числа (уменьшающихся) слагаемых может дать в результате конечное число.
Нарисуем друг за другом несколько отрезков, каждый из которых вдвое меньше предыдущего.
Теперь на каждом отрезке построим / нарисуем квадрат.
Теперь проведём прямую (а это получится прямая!) через правые верхние углы квадратов.
Посмотрите внимательно: эта прямая пересечёт горизонтальное основание всех отрезков как раз там (в той точке), куда сходится сумма бесконечного числа бесконечно уменьшающихся отрезков (!)
То, что через верхние-правые вершины квадратов проходит наклонная прямая доказать легко. Запишем наклон любого из отрезков между двумя ближайшими квадратами:
То есть, наклон – постоянная величина для всех (пар) квадратов
(не зависит от того, где они расположены).
_____________
Кстати, ещё одно интересное свойство: если выбрать любой (один) отрезок, то (бесконечная) сумма всех отрезков справа от него будет равна … длине выбранного отрезка.
______________
Однако, бесконечная сумма уменьшающихся отрезков (чисел) не всегда конечна 😒.
Например, сумма вот таких уменьшающихся слагаемых
увеличивается до бесконечности с ростом числа слагаемых.
Однако, если знак слагаемых чередуется (плюс на минус и обратно), то такая бесконечная сумма
- конечное число (натуральный логарифм 2, приблизительно равный 0.693147).
И сумма квадратов этих слагаемых
- конечное число.
Каждая из подобных (бесконечных) сумм требует специального изучения / подхода👆.
Когда слагаемые растут
Если не всякая сумма (с бесконечным числом) уменьшающихся слагаемых даёт конечный результат, то что говорить о суммах, где сами слагаемые увеличиваются! Очевидно же, что
1+2+3+…+ n +…
растёт до бесконечности.
Однако, интересно посмотреть на подобные суммы с чередующимися знаками перед слагаемыми. Например, попробуем найти сумму S, где:
Посчитать, что получится в результате … не так просто 😉.
Попробуем сгруппировать слагаемые:
(1-2) + (3-4) + (5-6)+… = -1 -1 -1… То есть, получаем S= -∞ (отрицательное бесконечно большое число).
А если по-другому?
1+(-2+3)+(-4+5)+… = 1+1+1… То есть, получаем S = +∞ (положительную бесконечность).
А вот так:
Заметим, что в конце выражения в скобках стоит … бесконечная сумма, которую мы ищем (S). То есть, можно записать:
А это значит 4S = 1. И, наконец: S=1/4 ... Ox! 😮
Подведём итог: три разные группировки слагаемых приводят к трём разным результатам
🤔😮😧.
Получается, что от перестановки слагаемых меняется сумма?
Да уж! С бесконечностями надо обращаться осторожно!
Прежде чем применять привычные правила нужно тщательно проверить, возможно-ли это когда речь идёт о бесконечностях...
Конечно, жалко, что суммируются только убывающие ряды (да и то не все).
Как-то это странно...
Или всё же можно что-то придумать? 🤔
...и ведь придумали!
Своеобразные и очень интересные методы суммирования
👇
