Осторожно

В начале (предисловии) приведён пример того, как конечную величину можно представить в виде бесконечного числа частей. Целое яблоко делили пополам, потом одну половинку ещё раз пополам, затем одну четвертинку – ещё раз пополам… 

То есть, целое число 1 (яблоко) представлено в виде суммы (кусочков)

Причём количество слагаемых в сумме бесконечно (!)

Вот ещё одна иллюстрация того, как сумма бесконечного числа (уменьшающихся) слагаемых может дать в результате конечное число.

Нарисуем друг за другом несколько отрезков, каждый из которых вдвое меньше предыдущего. 

То есть, наклон – постоянная величина для всех (пар) квадратов
(не зависит от того, где они расположены).  

_____________

Кстати, ещё одно интересное свойство: если выбрать любой (один) отрезок, то (бесконечная) сумма всех отрезков справа от него будет равна … длине выбранного отрезка.

______________

Однако, бесконечная сумма уменьшающихся отрезков (чисел) не всегда конечна 😒.

Например, сумма вот таких уменьшающихся слагаемых

увеличивается до бесконечности с ростом числа слагаемых.

Однако, если знак слагаемых чередуется (плюс на минус и обратно), то такая бесконечная сумма

- конечное число (натуральный логарифм 2, приблизительно равный 0.693147).

И сумма квадратов этих слагаемых

- конечное число.

Каждая из подобных (бесконечных) сумм требует специального изучения / подхода👆.

Когда слагаемые растут

Если не всякая сумма (с бесконечным числом) уменьшающихся слагаемых даёт конечный результат, то что говорить о суммах, где сами слагаемые увеличиваются! Очевидно же, что

1+2+3+…+ n +…

растёт до бесконечности.

Однако, интересно посмотреть на подобные суммы с чередующимися знаками перед слагаемыми. Например, попробуем найти сумму S, где:

Посчитать, что получится в результате … не так просто 😉.

Попробуем сгруппировать слагаемые:

(1-2) + (3-4) + (5-6)+… = -1 -1 -1… То есть, получаем S= -∞ (отрицательное бесконечно большое число).

А если по-другому?

1+(-2+3)+(-4+5)+… = 1+1+1… То есть, получаем S = +∞ (положительную бесконечность).

А вот так:

Заметим, что в конце выражения в скобках стоит … бесконечная сумма, которую мы ищем (S). То есть, можно записать:

А это значит 4S = 1. И, наконец: S=1/4  ... Ox! 😮

Подведём итог: три разные группировки слагаемых приводят к трём разным результатам
🤔😮😧.

Получается, что от перестановки слагаемых меняется сумма?
Да уж! С бесконечностями надо обращаться осторожно!

Прежде чем применять привычные правила нужно тщательно проверить, возможно-ли это когда речь идёт о бесконечностях...

...и ведь придумали!
Своеобразные и очень интересные методы суммирования
👇